题目内容

如图，抛物线y= $数学公式$ x² $数学公式$ mx+ $数学公式$ m²（m＞0）与x轴相交于A、B两点，点H是抛物线的顶点，以AB为直径作⊙G交y轴于E、F两点，EF= $数学公式$ ．
（1）求m的值和⊙G的半径R；
（2）连接AH，求线段AH的长度；
（3）问：射线GH上是否存在一点P，使以点P为圆心作圆，能与直线AH和⊙G同时相切？若存在，求点P的坐标；若不存在，请简要说明理由．

解：（1） $\text{[math]}$ x² $\text{[math]}$ mx+ $\text{[math]}$ m²=0，
∴x²+mx-2m²=0，
∵m＞0，
∴A（-2m，0），B（m，0），
∴AB=3m，⊙G的半径R= $\text{[math]}$ ，
∴OB=m，BG= $\text{[math]}$ m，
∴OG= $\text{[math]}$ m，
∴G（ $\text{[math]}$ ，0），
∵EF⊥x轴，AB为直径，EF=4 $\text{[math]}$ ，
∴EO=2 $\text{[math]}$ ，
连接GE，在Rt△GEO中，由勾股定理得GE²=GO²+EO²

解得m=±2，
∵m＞0，
∴m=2，R=3．

（2）∵m=2，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴H（-1，4）
又∵A（-4，0），
∴ $\text{[math]}$ ．

（3）设⊙P的半径为R'，P点的坐标为（-1，k），
由题意可知，当k＞4时，不符合题意，

所以0＜k＜4．
因为⊙P与直线AH相切，过点P作PM⊥AH，垂足为点M，PM=r_P
∴HP=4-k，R'=HP•sin∠AHG= $\text{[math]}$ ，
①当⊙P与⊙G内切时，3-R'=k，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
②当⊙P与⊙G外切，3+R'=k
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （2所以满足条件的P点有： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．分）
分析：（1）连接GE，在Rt△GEO中，将GE、GO和EO的长用m表示出来，再由勾股定理得GE²=GO²+EO²即可求解．
（2）根据抛物线的解析式，可以得出H点的坐标，继而得出AH的长；
（3）假设存在这样的点，再直线AH和⊙G同时相的条件进行求解即可．
点评：本题考查了二次函数的知识，难度较大，基于二次函数的综合题是中考中常见的问题，要注意各部分知识的综合利用，对这类综合题要善于总结其思路与方法．