Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，弦AC∥OD，BD切⊙O于B，连接CD．
（1）判断CD是否为⊙O的切线，若是请证明；若不是请说明理由；
（2）若AC=2，OD=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）欲证CD是否为⊙O的切线，只须连接OC，证明OC⊥CD即可；
（2）连接BC交OD于E，先证明△OBE∽△ODB或△ABC∽△ODB，再根据相似三角形的性质及中位线的性质，即可求出⊙O的半径．

解答：解：（1）判断：CD是⊙O的切线
证明：连接OC（1分）
∵AC∥OD
∴∠A=∠BOD，∠ACO=∠COD
∵OA=OC
∴∠A=∠ACO
∴∠BOD=∠COD
∵OB=OC，OD为公共边
∴△BOD≌△COD
∴∠B=∠OCD
∵BD是⊙O的切线，AB为直径
∴∠ABD=90°
∴∠OCD=90°（2分）
∴CD是⊙O的切线

（2）连接BC交OD于E
∵CD和BD都是⊙O的切线
∴CD=BD，∠CDO=∠BDO
∴BC⊥OD，BE=CE，∠OBD=90°
∴△OBE∽△ODB
∴

OB

OD

=

OE

OB

（3分）
由BE=CE，OA=OB
得OE为△ABC的中位线
即OE=

1

2

AC=1
∴

OB

6

=

1

OB

得OB=±

6

（舍负）（5分）
∴⊙O的半径为

6

注：还可以证明△ABC∽△ODB

点评：此题综合考查圆的切线的判定，三角形相似的判定与性质及中位线的性质等知识，难度较大．