Question

15．如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．
（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系．
（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C旋转一定的角度，得到如图2的情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，由SAS证明△BCG≌△DCE，得出BG=DE，∠CBG=∠CDE，延长BG交DE于H，由角的互余关系和对顶角相等证出∠CDE+∠DGH=90°，由三角形内角和定理得出∠DHG=90°即可；
（2）由正方形的性质可得BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，然后求出∠BCG=∠DCE，由SAS证明△BCG和△DCE全等，由全等三角形对应边相等可得BG=DE，全等三角形对应角相等可得∠CBG=∠CDE，然后求出∠DOH=90°，再根据垂直的定义证明即可．

解答 （1）解：BG=DE，BG⊥DE；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCG=∠ECG}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
延长BG交DE于H，如图所示：
∵∠CBG+∠BGC=90°，∠DGH=∠BGC，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BG⊥DE；
（2）解：成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，四边形CEFG是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，
即∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}&{\;}\\{∠BCG=∠DCE}&{\;}\\{CG=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BHC=90°，∠BHC=∠DHO（对顶角相等），
∴∠CDE+∠DHO=90°，
在△DHO中，∠DOH=180°-（∠CDE+∠DHO）=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、对顶角相等、三角形内角和定理；熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键，也是本题的难点．