Question

已知：如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线与BC边相交于点E，∠ABC的平分线与AD边相交于点F．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4cm，∠BAD=120°，求AE、BF的长．

Answer 1

分析：（1）由题意易得四边形ABCD是平行四边形，又可根据角平分线的定义和平行线的定义，求得AB=AF，所以四边形ABEF是菱形．
（2）根据菱形的对角线相互垂直，且相互平分即可求解．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，∠6=∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∴∠1=∠3，∠5=∠7，
∴AB=AF，AB=BE，
∴AF=BE
∵AF∥BE，且AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；

（2）解：设AE，BF 的交点为O，
在△ABO中，已知AB=4，则AO=2，BO=2

3

，
∴AE=2AO=4，BF=2BO=4

3

．

点评：本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．难度适中，菱形的四条边相等是说明一个四边形为菱形的理论依据．