Question

19．如图所示，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$
• B． 8
• C． 2$\sqrt{10}$
• D． 2$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，CD=1，根据垂径定理可求得AC=BC=4，然后设OA=x，利用勾股定理可得方程：4²+（x-1）²=x²，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B=90°，继而求得答案．

解答 解：连接BE，

∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=BC=4，
设OA=x，
∵CD=2，
∴OC=x-2，
在Rt△AOC中，AC²+OC²=OA²，
∴4²+（x-2）²=x²，
解得：x=5，
∴OA=OE=5，OC=3，
∴BE=2OC=6，
∵AE是直径，
∴∠B=90°，
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}+B{E}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
故选：D．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．