Question

夜晚，小明在路灯下散步．已知小明身高1.5m，路灯的灯柱高均为4.5m．
（1）如图①，若小明在相距10m的两路灯AB，CD之问行走（不含两端），他前后的两个影子长分别为FM=x（m），FN=y（m）．试求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）有一个成语叫“形影不离”，其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离．但在灯光下，人的速度与影子的速度却不是一样的！如图②，若小明在灯柱PQ前，朝着影子的方向（如图中箭头），以0.8m/s的速度匀速行走，试求他影子的顶端R在地面上移动的速度．

Answer 1

考点：相似三角形的应用,中心投影

专题：

分析：（1）易证△MEF∽△MAB，根据相似三角形的对应边的比相等．可以把BF用x表示出来，同理，DF也可以用y表示出来．根据BD=10，就可以得到x，y的一个关系式，从而求出函数的解析式．
（2）根据△REF∽△RPQ就可以求出PE与RP的比值，同理．根据△PEE′∽△PRR′，求得EE′与RR′的比值．则影子的速度就可以得到．

解答：解：（1）∵EF∥AB，
∴∠MEF=∠A，∠MFE=∠B．
∴△MEF∽△MAB．
∴

MF

MB

=

EF

AB

=

1.5

4.5

=

1

3

．
∴

x

MB

=

1

3

，MB=3x  BF=3x-x=2x．
同理，DF=2y．    
∵BD=10
∴2x+2y=10
∴y=-x+5     
∵当EF接近AB时，影长FM接近0；
当EF接近CD时，影长FM接近5
∴0＜x＜5；
  
（2）如图，设运动时间为t秒，则EE'=FF'=0.8t
∵EF∥PQ
∴∠REF=∠RPQ，∠RFE=∠RQP
∴△REF∽△RPQ
∴

RE

RP

=

EF

PQ

=

1.5

4.5

=

1

3

，
∴

PE

RP

=

2

3

，
∵EE'∥RR'
∴∠PEE'=∠PRR'，∠PE'E=∠PR'R
∴△PEE'∽△PRR'
∴

EE′

RR′

=

PE

RP

，
∴

0.8t

RR′

=

2

3

，
∴RR'=1.2t，
∴V影子=

1.2t

t

=1.2米/秒．

点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：平行于三角形一边的直线与三角形另两边相交，截得的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．