Question

如图所示，AD∥BC，梯形ABCD的面积是180，E是AB的中点，F是BC边上的点，且AF∥CD，AF分别交ED，BD于G，H，设

BC

AD

=m，m是整数．
（1）若m=2，求△GHD的面积；
（2）若△GHD的面积为整数，求m的值．

Answer 1

分析：（1）若m=2，即BC=2AD，且四边形AFCD为平行四边形，可知F为BC中点，加上已知E为AB中点，可知G为△ABD的重心，从而求出AG和GH的比例关系，利用已知的总面积进而求出未知三角形在原图形中所占的比例，
（2）在（1）的基础之上，先求出△DHG面积，用m表示出来，进而考虑△DHG面积为整数时，m的取值．

解答：解：（1）∵AF∥CD，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴FC=AD=

1

2

BC，
∴F是BC的中点，
∴H为BD中点，
又∵E是AB的中点，故G为△ABD的重心，因此GH=

1

2

AG．（3分）
∴S△ABD=

1

3

SABCD=60，S△AHD=

1

2

S△ABD=30，S△GHD=

1

3

S△AHD=10．（6分）

（2）作BK∥AF交ED于K，
则△KEB≌△GEA，
∴AG=KB，
∴

GH

AG

=

GH

KB

=

HD

BD

=

FC

BC

=

AD

BC

=

1

m

．（9分）
∴S_△ABD：S_△BCD=1：m，
∴S△ABD=

1

m+1

SABCD=

180

m+1

．S△AHD=

1

m

S△ABD=

180

m(m+1)

，
S△GHD=

1

m+1

S△AHD=

180

m(m+1)2

．（12分）
即

180

m(m+1)2

为整数，因为180=2²×3²×5，所以m+1=2，3或6．
经验证，m+1=3或6，即m=2或5．（15分）

点评：解此题的关键是利用平行四边形的性质和重心的相关知识，来解决相关证明和计算．