Question

8．设x，y都是正整数，且$\sqrt{x-116}$+$\sqrt{x+100}$=y，求y的最小值．

Answer 1

分析 已知等式右边为整数，左边的两个二次根式必为整数，故设x-116=m²，x+100=n²，两式相减利用平方差公式进行求解．

解答 解：∵x-116、x+100、y都为整数，
∴$\sqrt{x-116}$、$\sqrt{x+100}$必为整数，
设x-116=m²，x+100=n²，（m＜n，m、n为正整数）
两式相减，得n²-m²=（n+m）（n-m）=216，
要m，n都是正整数，
∴将216分解成两个偶数，
∵216=4×54=2×108=6×36=12×18，
①当m+n=54时，此时n-m=4，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=25}\\{n=29}\end{array}\right.$，即：y=54，
②当n+m=108时，此时n-m=2，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=53}\\{n=55}\end{array}\right.$，即：y=108，
③当m+n=36时，此时n-m=6，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=15}\\{n=21}\end{array}\right.$，即：y=36，
④当m+n=18，此时n-m=12，解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=15}\end{array}\right.$，即：y=18
综上可得：y的值最小为18；
故答案为：18．

点评 本题考查了函数最值问题．解题时，寻找抵消规律，二次根式与整数的关系问题，运用平方差公式，具有一定的综合．