如图.已知一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象与x轴交于点A.与y轴交于点B.二次函数y=$\frac{1}{2}$x2+bx+c的图象与一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象交于点B.C两点.与x轴交于D.E两点.且D点坐标为(1.0)．(1)求二次函数的解析式,(2)在在x轴上有一动点P.从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动.是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，已知一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c的图象与一次函数y=$\frac{1}{2}$x+1的图象交于点B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动时间t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

分析（1）根据一次函数的解析式可找出点B的坐标，再根据点A、D的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）假设存在，则点P的坐标为（t，0）．联立直线与抛物线解析式成方程组，解方程组求出点C的坐标，根据点B、P的坐标利用两点间的距离公式即可求出PB、PC、BC的长度，再利用勾股定理即可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论；
（3）假设存在，则AP=2t，AQ=at．由一次函数解析式即可找出点A的坐标，结合点B、D的坐标即可得出AB、AD的长度，分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB两种情况考虑，根据相似三角形的性质即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a值，此题得解．

解答解：（1）当x=0时，y=1，
∴B（0，1）．
将点B（0，1）、D（1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c中，
$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{2}+b+c=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1．
（2）假设存在，则点P的坐标为（t，0）．
联立直线AB与抛物线的解析式成方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
∴点C的坐标为（4，3）．
∵B（0，1），P（t，0），
∴BC=2$\sqrt{5}$，CP=$\sqrt{（4-t）^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}-8t+25}$，BP=$\sqrt{（t-0）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+1}$，
∵在Rt△PBC中，∠BPC=90°，
∴BC²=CP²+BP²，即20=t²-8t+25+t²+1，
解得：t₁=1，t₂=3．
故存在动点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形，此时点P运动的时间为1秒或3秒．
（3）假设存在，则AP=2t，AQ=at．
当y=0时，x=-2，
∴A（-2，0）．
∵B（0，1）、D（1，0），
∴AB=$\sqrt{5}$，AD=3．
∵∠PAQ=∠BAD，
∴以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似有两种情况：
①当△PAQ∽BAD时，有$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AD}$，即$\frac{2t}{\sqrt{5}}=\frac{at}{3}$，
解得：a=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
②当△PAQ∽△DAB时，有$\frac{AP}{AD}=\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{2t}{3}=\frac{at}{\sqrt{5}}$，
解得：a=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
综上可知：存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似，a的值为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$或$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

点评本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、勾股定理以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用勾股定理找出关于t的一元二次方程；（3）分△PAQ∽BAD和△PAQ∽△DAB两种情况考虑．本体属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．

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