Question

18．如图，将一张长方形分别沿着AP，BP对折，使点C落在点C′，点D落在点D′，且点P，C′，D′在同一条直线上．
（1）求两条折痕的夹角∠APB的度数．
（2）继续按上述方式折叠，使点P，A，B在同一条直线上，则两条折痕所成的夹角∠EPF的度数是45°．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质，可得∠APC'=$\frac{1}{2}$∠CPC'，∠BPD'=$\frac{1}{2}$∠DPD'，再根据角的和差关系进行计算，可得∠APB=∠APC'+∠BPD'=90°；
（2）根据折叠的性质，可得∠APE=$\frac{1}{2}$∠APG，∠BPF=$\frac{1}{2}$∠APH，再根据角的和差关系进行计算，可得∠EPF=∠APE+∠BPF=45°．

解答 解：（1）如图所示，由折叠得，∠APC'=$\frac{1}{2}$∠CPC'，∠BPD'=$\frac{1}{2}$∠DPD'，
∴∠APB=∠APC'+∠BPD'
=$\frac{1}{2}$∠CPC'+$\frac{1}{2}$∠DPD'
=$\frac{1}{2}$（∠CPC'+∠DPD'）
=$\frac{1}{2}$×180°
=90°；

（2）如图所示，由折叠得，∠APE=$\frac{1}{2}$∠APG，∠BPF=$\frac{1}{2}$∠APH，
∴∠EPF=∠APE+∠BPF
=$\frac{1}{2}$∠APG+$\frac{1}{2}$∠APH
=$\frac{1}{2}$（∠APG+∠APH）
=$\frac{1}{2}$×∠GPH
=$\frac{1}{2}$×90°
=45°．
故答案为：45°．

点评 本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．