题目内容

观察下列等式： $数学公式$ ．
（1）直接写出下列各式的计算结果： $数学公式$ =______；
（2）探究并计算： $数学公式$ ．

解：（1）原式=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）原式= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
故答案为：（1） $\text{[math]}$
分析：（1）根据已知的等式得到规律 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （n为正整数），将所求式子利用此规律拆项，抵消后通分，利用同分母分数的减法法则计算，即可得到结果；
（2）将所求式子提取 $\text{[math]}$ ，并将剩下的分母写出相邻两数积的形式，利用上述规律拆项，抵消后计算，即可得到结果．
点评：此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时利用利用运算律来简化运算．解题的关键是找出规律 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （n为正整数）．