Question

【题目】如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O,AO=CO=8,BO=DO=6,点P为线段AC上的一个动点。

⑴ 填空:AD=CD=_____ .

⑵ 过点P分别作PM⊥AD于M点，作PH⊥DC于H点.连结PB,在点P运动过程中，PM+PH+PB的最小值为____________.

Answer 1

【答案】10 15.6

【解析】

(1)在△AOD中，由勾股定理可求得AD=10，由AC⊥BD，AO=CO，可知DO是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知AD=CD=10；

(2)连接DP，根据题意可知S△ADP+S△CDP=S△ADC，由三角形的面积公式可知ADPM+DCPH=ACOD，将AC、OD、AD、DC的长代入化简可知PM＋PH为定值9.6，当PB最短时，PM+PH+PB有最小值，由垂线的性质可知当点P与点O重合时，PB有最小值6，即可得解.

解：(1)∵AC⊥BD于点O，

∴△AOD为直角三角形．

∴AD===10．

∵AC⊥BD于点O，AO=CO，

∴AD=CD=10；

(2)如图所示：连接PD，

∵S△ADP+S△CDP=S△ADC，

∴ADPM+DCPH=ACOD，即×10×PM+×10×PH=×16×6，

∴10×(PM+PH)=16×6，

∴PM+PH=9.6，

∴当PB最短时，PM+PH+PB有最小值．

∵由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短，

∴当点P与点O重合时，PM+PH+PB有最小，最小值=9.6+6=15.6．

故答案为：(1)10；(2)15.6.