Question

已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点.

（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；

小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．

请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．

（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=，，（其中），直接写出AM的长(用含有a，b的代数式表示).

Answer 1

（1）【解析】
延长MB至点E，使BE=MC，连接AE，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，

∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，

∴∠ABE=∠ACM，

在△AEB和△AMC中，∴△AEB≌△AMC，

∴∠AEB=∠AMC，

∵∠AMC=∠ABC（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），

∴∠AEB=∠ABC，

∵∠AME=∠ACB（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEB=∠AME=60°，

∴△AEM是等边三角形，

∴AM=ME=MB+BE，

∵BE=MC，

∴MB+MC=MA=1+2=3．

即AM的长是3．

（2）【解析】
分为两种情况：①如图，AM==(a+b)

由是：延长MB至点E，使BE=MC，连AE，

由（1）知：∠ABE=∠ACM，

在△ABE和△ACM中

∴△ABE≌△ACM，

∴AM=AE，∠E=∠AMC，

∵∠AMC=∠ABC=45°，∠AMB=∠ACB=45°，

∴∠E=∠AMB=45°，

∴∠EAM=90°，

在△EAM中，ME=MB+BE=MB+CM=a+b，AE=AM，

由勾股定理得：AM==(a+b)

即AM=(a+b)

②如图，

在CM上截取CN=BM，连接AN，

∵∠ABM所对的弧和∠ACN所对的弧都是弧AM，

∴∠ABM=∠ACN，

在△ABM和△ACN中

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴AM=AN，∠BAM=∠CAN，

∵∠BAC=∠BAN+∠CAN=90°，

∴∠BAN+∠BAM=90°，

∴∠MAN=90°，

则△MAN是等腰直角三角形，

∵MN=CM-CN=CM-BM=b-a，

由勾股定理得：AM=AN==(b-a)

即AM=(b-a)．

即AM的长是(a+b)或(b-a)．

【解析】

试题分析：（1）延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等边三角形性质求出AC=AB，根据圆内接

四边形的性质推出∠ABE=∠ACM，证△ABE≌△ACM，推出AM=AE，证等边三角形AEM，推出AE=AM=ME，

即可推出答案；

（2）分为两种情况，画出图形，延长MB至点E，使BE=MC，连AE，根据等腰直角三角形性质推

出AB=AC，根据SAS证△ABE≌△ACM，推出AM=AE，∠E=∠AMC=45°，∠AMB=45°，求出△EAM是

等腰直角三角形，根据勾股定理求出即可．

考点：圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形，

圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与内心。