题目内容

观察下列各式：
①
12+2+(
1
1
)2
=1+
1
1
；
②
22+2+(
1
2
)2
=2+
1
2
1
2
；
③
32+2+(
1
3
)2
=3+
1
3
1
3
；
④第四个等式为
42+2+(
1
4
)2
=4+
1
4
42+2+(
1
4
)2
=4+
1
4
；
⑤第n个等式为
n2+2+(
1
n
)2
=n+
1
n
n2+2+(
1
n
)2
=n+
1
n
．
分析：①、②、③把被开方数化为完全平方式，再把各根式进行化简，找出规律即可得出结论．
解答：解：∵①
12+2+(
1
1
)2
=
(1+
1
1
)2
=1+1；
②
22+2+(
1
2
)2
=
(2+
1
2
)2
=2+
1
2
；
③
32+2+(
1
3
)2
=
(3+
1
3
)2
=3+
1
3
；
∴第四个等式为
42+2+(
1
4
)2
=4+
1
4
；
…
第n个等式为
n2+2+(
1
n
)2
=n+
1
n
．
故答案为：1，
1
2
，
1
3
，
42+2+(
1
4
)2
=4+
1
4
，
n2+2+(
1
n
)2
=n+
1
n
．
点评：本题考查的是二次根式的性质与化简，根据题意找出规律是解答此题的关键．
练习册系列答案
相关题目
20、观察下列各式：①12+1=1×2；②22+2=2×3；③32+3=3×4；…请你将第n（n≥1）个猜想到式子的规律表示出来：
n2+n=n（n+1）
．
33、观察下列各式：
12+1=1×2
22+2=2×3
32+3=3×4
…
请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来
n2+n=n（n+1）
．
阅读理解并回答问题．观察下列各式：
1
2
=
1
1×2
=
1
1
-
1
2
，
1
6
=
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
12
=
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
20
=
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，
1
30
=
1
5×6
=
1
5
-
1
6
，…①
（1）请你猜想出表示①中的特点的一般规律，用含n（n表示整数）的等式表示出来
 
．
（2）请利用上速规律计算：（要求写出计算过程）
1
2
+
1
6
+
1
12
+…+
1
(n-1)n
+
1
n(n+1)
观察下列各式：
1
2
=
1
1×2
=
1
1
-
1
2
，
1
6
=
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
12
=
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
20
=
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，
1
30
=
1
5×6
=
1
5
-
1
6
，…
（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含x（x表示正整数）的等式表示出来
1
x(x+1)
=
1x
 
-
1
x+1
1
x(x+1)
=
1x
 
-
1
x+1
．
（2）请利用上述规律计算：
1
2
+
1
6
+
1
12
+…+
1
(x-1)x
+
1
x(x+1)
．（x为正整数）
（3）请利用上述规律，解方程：
1
(x-2)(x-1)
+
1
(x-1)x
+
1
x(x+1)
=
1
x+1
．
观察下列各式：12+1=1×2=2；22+2=2×3=6；32+3=3×4=12
试猜想992+99=
99
99
×
100
100
=
9900
9900
．

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