Question

5．综合与探究：如图，已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0），B（4，0），与直线AC相交于点C（2，a），直线AC与y轴相交于点D，连接BD，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△CDB是哪种特殊的三角形，并说明理由；
（3）如图2，设抛物线的对称轴为l，点E（m，n）（-1＜m＜2）是抛物线上一动点，当△ACE的面积为$\frac{27}{8}$时，点E关于l的对称点为F，能否在抛物线和l上分别找到点P，Q．使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用交点式写出抛物线解析式；
（2）先利用二次函数图象上点的坐标特征求出C（2，6），再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=2x+2，则D（0，2），接着利用两点间的距离公式计算出BD²=20，CD²=20，BC²=40，然后利用勾股定理的逆定理判断△CDB的形状；
（3）作EH∥y轴交AC于H，如图2，设E（m，-m²+3m+4）（-1＜m＜2），则H（m，2m+2），则EH=-m²+m+2，利用三角形面积公式和S_△ACE=S_△AEH+S_△CEH得到-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3=$\frac{27}{8}$，解得m₁=m₂=$\frac{1}{2}$，则得到E（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{4}$），再利用而此函数的性质得∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），于是得到点E关于直线x=$\frac{3}{2}$的对称点F的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$），然后分类讨论：当以EF为对角线时，易得点P在顶点，坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），当以EF为边时，如图2，根据平行四边形的性质得EF∥PQ，EF=PQ=2，于是确定P点的横坐标为-$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$，然后计算出对应的函数值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-4），即y=-x²+3x+4；
（2）△CDB是等腰直角三角形．理由如下：如图1，
∵C（2，a）在抛物线上，
∴a=-4+6+4=6，
∴C（2，6），
设直线AC的解析式为y=kx+p，
把A（-1，0），C（2，6）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+p=0}\\{2k+p=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{p=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=2x+2，
当x=0时，y=2x+2=2，则D（0，2），
∵BD²=2²+4²=20，CD²=2²+（6-2）²=20，BC²=2²+6²=40，
∴BD²+CD²=BC²，
∴△BCD为直角三角形，∠BDC=90°，
而BD=CD=2$\sqrt{5}$，
∴△CDB是等腰直角三角形；
（3）能．
作EH∥y轴交AC于H，如图2，
设E（m，-m²+3m+4）（-1＜m＜2），则H（m，2m+2），
∴EH=-m²+3m+4-（2m+2）=-m²+m+2，
∵S_△ACE=S_△AEH+S_△CEH=$\frac{1}{2}$•3•EH=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3，
∴-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3=$\frac{27}{8}$，
整理得4m²-4m+1=0，解得m₁=m₂=$\frac{1}{2}$，
∴E（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{4}$），
∵y=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{3}{2}$，顶点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
∴点E关于直线x=$\frac{3}{2}$的对称点F的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{21}{4}$），
以点E，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，有2种可能：
当以EF为对角线时，因为PQ与EF互相平分，则点P在顶点，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
当以EF为边时，如图2，则EF∥PQ，EF=PQ=2，
∴P点的横坐标为-$\frac{1}{2}$或$\frac{7}{2}$，
而x=-$\frac{1}{2}$时，y=-x²+3x+4=$\frac{9}{4}$；当x=$\frac{7}{2}$时，y=-x²+3x+4=$\frac{9}{4}$，
此时P点坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$），
综上所述，满足条件的P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定和平行四边形的性质；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式，能运用勾股定理的逆定理证明直角三角形；会利用相似三角形的知识求线段的长；能运用分类讨论的思想解决数学问题．