Question

3．已知x=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$，则$\sqrt{{x}^{3}+2{x}^{2}-x+8}$=2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 将x分母有理化，然后将x的值代入原式即可．

解答 解：由题意可知：x=$\frac{1-\sqrt{2}}{（1+\sqrt{2}）（1-\sqrt{2}）}$=$\sqrt{2}$-1，
∴x³+2x²-x+8
=x（x²+2x-1）+8
=x（x²+2x+1-2）+8
=x（x+1）²-2x+8
=（$\sqrt{2}$-1）（$\sqrt{2}$）²-2（$\sqrt{2}$-1）+8
=2（$\sqrt{2}$-1）-2（$\sqrt{2}$-1）+8
=8，
∴原式=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$；

点评 本题考查二次根式的运算，涉及分母有理化，因式分解，二次根式运算等知识，属于中等题型．