Question

8．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（即：点D是AC的黄金分割点），如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD是三角形ABC的角平分线，那么AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠C=72°，再根据角平分线定义得到∠ABD=∠CBD=36°，易得AD=BC=BD，然后证明△ABC∽△BCD，利用相似得性质得AC：BC=BC：CD，则AC：AD=AD：CD，于是根据黄金分割点的定义得到点D为AC的黄金分割点，易得AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

解答 解：∵AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC=BD，
∵∠A=∠CBD，∠ACB=∠BCD，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC=BC：CD，
∴AC：AD=AD：CD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．