Question

19．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，E为垂足．则结论：（1）AD=BF；（2）CF=CD；（3）AC+CD=AB；（4）BE=CF；（5）BF=2BE，其中正确的结论个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①正确．只要证明△ADC≌△BFC，即可推出AD=BF；
②正确．由△ADC≌Rt△BFC可直接得出结论；
③正确．只要证明∠ABF=∠F=67.5°，即可推出AF=AB，即AC+CD=AB；
④错误．由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，故BE=$\frac{1}{2}$BF，在Rt△BCF中，若BE=CF，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾，故BE≠CF；
⑤正确．由③可知，△ABF是等腰三角形，由于BE⊥AD，根据等腰三角形三线合一的性质即可解答．

解答 解：①∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAF=22.5°，
∵∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，
∴∠EAF=∠FBC，
在△ACD与△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠DAC=∠FBC}\\{∠ACD=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BFC，
∴AD=BF，故①正确；
②∵△ADC≌△BFC，
∴CF=CD，故②正确；
③∵△ADC≌△BFC，
∴CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF，
∵∠CBF=∠EAF=22.5°，
∴在Rt△AEF中，∠F=90°-∠EAF=67.5°，
∵∠CAB=45°，
∴∠ABF=180°-∠F-∠CAB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴AF=AB，即AC+CD=AB，故③正确；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BE=$\frac{1}{2}$BF，
∵在Rt△BCF中，若BE=CF，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾，
故BE≠CF，故④错误；
⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BF=2BE，故⑤正确．
所以①②③⑤四项正确．
故选D．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，正确寻找全等三角形是解答此题的关键，学会通过计算证明角相等，属于中考常考题型．