Question

【题目】如图，点P在平行四边形ABCD的边BC上，将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，如果AB＝5，AD＝8，tanB＝，那么BP的长为_____．

Answer 1

【答案】或7

【解析】

①如图1，过A作AH⊥BC于H，连接DB′，设AH＝4x，BH＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝5x＝5，根据旋转的性质得到AB′＝AB＝5，AM＝DM＝AD＝4，∠AMN＝∠HNM＝90°，根据勾股定理得到MB′＝＝3，求得HN＝MN＝4，根据相似三角形的性质即可得到结论；

②如图2，由①知，MN＝4，MB′＝3，BN＝7，求得NB＝NB′，推出点P与N重合，得到BP＝BN＝7．

①如图1，过A作AH⊥BC于H，连接DB′，

设BB′与AP交于E，

AD的垂直平分线交AD于M，BC于N，

∵tanB＝，

∴设AH＝4x，BH＝3x，

∴AB＝＝5x＝5，

∴x＝1，

∴AH＝4，BH＝3，

∵将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线MN上，

∴AB′＝AB＝5，AM＝DM＝AD＝4，∠AMN＝∠HNM＝90°，

∴四边形AHNM是正方形，MB′＝＝3，

∴HN＝MN＝4，

∴BN＝7，B′N＝1，

∴BB′＝，

∴BE＝BB′＝，

∵∠BEP＝∠BNB′＝90°，∠PBE＝∠B′BN，

∴△BPE∽△BB′N，

∴，

∴，

∴BP＝；

②如图2，由①知，MN＝4，MB′＝3，BN＝7，

∴NB＝NB′，

∴点N在BB′的垂直平分线上，

∵将△ABP沿直线AP翻折，点B恰好落在边AD的垂直平分线上，

∴点P也在BB′的垂直平分线上，

∴点P与N重合，

∴BP＝BN＝7，

综上所述，BP的长为或7．

故答案为：或7．