Question

如图：已知，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=

3

5

，点O为BC边上的一个动点，连接OD，以O为圆心，BO为半径的⊙O分别交边AB于点P，交线段OD于点M，交射线BC于点N，连接MN．
（1）当BO=AD时，求BP的长；
（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明由；
（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C半径CN的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过点A作AE⊥BC，在⊙O中，过点O作OH⊥AB，则四边形ADCE是矩形，可由余弦的概念，求得AE，则有AD=CE=BC-BE，而得到BO=AD的值，由垂径定理知，PH=BH，由BH：OB=cosB，求得BH，即有PB=2BH；
（2）用反证法，证明不存在BP=MN；
（3）由题意知，当点N在BC上时，⊙C与⊙O外切，有

7

3

＜CN＜6=BC，当点N在BC的延长线上时，⊙C与⊙O内切，由于点这在AB上，BP的最大值为5，则可利用余弦的概念，求得圆O的直径为

25

3

，故0＜CN≤

25

3

-6=

7

3

．

解答：解：（1）过点A作AE⊥BC
在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=

3

5

，得BE=3
∵CD⊥BC，AD∥BC，BC=6
∴AD=EC=BC-BE=3
当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB，则BH=HP，
∵

BH

BO

=cosB
∴BH=3×

3

5

=

9

5

∴BP=

18

5

（2）不存在BP=MN的情况．
假设BP=MN成立，
因为BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC，
过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB，
∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DCO
设BO=x，则PO=x，OC=6-x，
由

BH

x

=cosB=

3

5

，得BH=

3

5

x，
∴BP=2BH=

6

5

x
∴BQ=BP×cosB=

18

25

x，PQ=

24

25

x
∴OQ=x-

18

25

x=

7

25

x
∵△PQO∽△DCO
∴

PQ

OQ

=

DC

OC

，即

24 25 x

7 25 x

=

4

6-x

得x=

29

6

当x=

29

6

时，BP=

6

5

x=

29

5

＞5，与点P应在边AB上不符，
∴不存在BP=MN的情况．

（3）情况一：⊙O与⊙C相外切，此时0＜CN＜6；
情况二：⊙O与⊙C相内切，此时0＜CN≤

7

3

．

点评：本题利用了余弦的概念、矩形的性质、垂径定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、圆与圆的位置关系求解．