Question

20．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．
（1）求证：对任意“好数”m，m²-64一定为20的倍数；
（2）若m=p²-q²，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=$\frac{q}{p}$，例如68=18²-16²，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）=$\frac{16}{18}$=$\frac{8}{9}$，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．

Answer 1

分析 （1）设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，由于m²-64=20（5t²+8t），于是得到结论；
（2）根据已知条件得到10t+8=（p+q）（p-q），于是得到H（28）=$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，H（48）=$\frac{11}{13}$或H（48）=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$或H（48）=$\frac{1}{7}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，
∴m²-64=（10t+8）²-64=100t²+160t+64-64=20（5t²+8t），
∵1≤t≤9，且t为整数，
∴5t²+8t是正整数，
∴m²-64一定为20的倍数；

（2）解：∵m=p²-q²，且p，q为正整数，
∴10t+8=（p+q）（p-q），
当t=1时，18=1×18=2×9=3×6，没有满足条件的p，q；
当t=2时，28=1×28-3×14=4×7，
其中满足条件的p，q的数对有（8，6），即28=8²-6²，
∴H（28）=$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$，
当t=3时，38=1×38=2×19，没有满足条件的p，q；
当t=4时，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，
满足条件的p，q的数对为$\left\{\begin{array}{l}{p-q=2}\\{p+q=24}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p-q=4}\\{p+q=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p-q=6}\\{p+q=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=13}\\{q=11}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=8}\\{q=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=7}\\{q=1}\end{array}\right.$，
即48=13²-9²=8²-4²=7²-1²，
∴H（48）=$\frac{11}{13}$或H（48）=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$或H（48）=$\frac{1}{7}$，
∵$\frac{11}{13}＞\frac{3}{4}＞\frac{1}{2}＞\frac{1}{7}$，
∴H（m）的最大值为$\frac{11}{13}$．

点评 本题考查了因式分解的应用，正确的理解”好数”和“友好数对”是解题的关键．