Question

17．如图，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，D为垂足，△ABC∽△ACD∽△CBD，那么下列等式：①AC²=AD•AB；②CD²=AD•BD；③BC²=BD•AB；④AC•CB=BA•CD，其中正确的有①②③④．（填序号）

Answer 1

分析 由△ABC∽△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例以及面积法即可求得答案．

解答 证明：∵△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴AC²=AD•AB．
∵△ABC∽△CBD，
∴$\frac{BC}{BD}$=$\frac{AB}{BC}$，
∴BC²=BD•BA．
∵△ACD∽△CBD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=AD•DB，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
即∴AC•BC=AB•CD，
故①②③④正确，
故答案为①②③④．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．