Question

20．如图，已知菱形ABCD，边长AB=$\sqrt{3}$+1，内角∠ABC=60°，取对角线BD上两点E，H，使BE=DH，当∠AED=∠FHD=75°时，AE+FH=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 如图，作FM⊥BD于M，EN⊥AB于N，设NA=NE=x，则BE=2x，BN=$\sqrt{3}$x，根据AB=$\sqrt{3}$+1列出方程求出x，再证明DF=DH，在RT△FMD中求出FM、DM，最后在RT△HFM利用勾股定理即可解决问题．

解答 解：如图，作FM⊥BD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠AED=75°=∠ABE+∠BAE，
∴∠BAE=45°，
∵∠ENA=90°，
∴∠NAE=∠NEA=45°，
∴NA=NE，设NA=NE=x，则BE=2x，BN=$\sqrt{3}$x，
∵AB=$\sqrt{3}$+1，
∴$\sqrt{3}$x+x=$\sqrt{3}$+1，
∴x=1，
∴BE=2，AE=$\sqrt{2}$，
∵∠HFD=180°-∠FHD-∠FDH=75°，∠FHD=75°，
∴∠DFH=∠DHF，
∴DF=DH=BE=2，
在RT△FMD中，∵∠FMD=90°，∠FDM=30°，DF=2，
∴FM=1，DM=$\sqrt{3}$，HM=2-$\sqrt{3}$，
∴FH=$\sqrt{F{M}^{2}+H{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2-\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∴AE+FH=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$=$\sqrt{6}$．
故答案为$\sqrt{6}$．

点评 本题考查菱形的性质、30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用特殊三角形边角之间的关系解决问题，属于中考常考题型．