题目内容

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+ $数学公式$ +c与x轴交于点（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P是抛物线上一点，且△ABP的面积是 $数学公式$ ，求P点的坐标；
（3）若D是线段BC上的一个动点，过点D作DE⊥BC，交OC于E点．设CD的长为t，四边形DEOB的周长为l，求l与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

解：（1）∵抛物线y=ax²+ $\text{[math]}$ +c与x轴交于点（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4）．
∴ $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ +4；

（2）令y=0，可得x₁=-1，x₂=3，
∴B点坐标为：（3，0），
设P点坐标为（x，y），
依据题意得出：
$\text{[math]}$ ×4×|y|= $\text{[math]}$ ，
∴|y|= $\text{[math]}$ ，
∵y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ +4；
=- $\text{[math]}$ （x-1）²+ $\text{[math]}$ ，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1， $\text{[math]}$ ），
∴纵坐标最大值为： $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ ，
∴- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ +4；
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴P点的坐标为：（4，- $\text{[math]}$ ），（-2，- $\text{[math]}$ ）；

（3）如图所示：

在△ABC中，OB=3，CO=4，∠BOC=90°，
由勾股定理得BC=5，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC=∠BOC=90°，
∵∠DCE=∠OCB，
∴△DCE∽△OCB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵CD=t，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CE= $\text{[math]}$ t，DE= $\text{[math]}$ t，
∴四边形DEOB的周长为l=EO+BO+DB+DE=4- $\text{[math]}$ t+3+ $\text{[math]}$ t+5-t=12- $\text{[math]}$ t，
t的取值范围是：0＜t＜ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据抛物线y=ax²+ $\text{[math]}$ +c与x轴交于点（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，4），利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据△ABP的面积是 $\text{[math]}$ ，得出|y|= $\text{[math]}$ ，再利用图象开口方向得出y的值，进而求出即可；
（3）根据已知得出△DCE∽△OCB，得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再表示出EO，BO，DB，DE长度即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质与判定，根据已知得出△DCE∽△OCB，进而表示出EO，BO，DB，DE长是解题关键．