Question

8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABD=∠CBD=60°，AC与BD相交于点E，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点F．
（1）判断△ACD的形状，并加以证明
（2）若CF=2，DE=4，求弦CD的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=DE=4，CE=CF=2，根据切线的性质得到FC²=FB•AF，求得FB=1根据相似三角形的性质即可得到结论；

解答 解：（1）∵∠ABD=∠CBD=60°，
∴∠CAD=∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD=60°，
∴△ACD是等边三角形；

（2）在△ACF与△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠FAC}\\{∠ACF=∠ACD}\\{AC=CD}\end{array}\right.$
∴△ACF≌△DCE，
∴AF=DE=4，CE=CF=2，
∵CF是⊙O的切线，
∴FC²=FB•AF，
∴2²=FB•4，
∴FB=1
∴AB=AF-BF=4-1=3，
∵∠ABE=∠DCE，∠BAE=∠CDE，
∴△∠ABE∽∠DCE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{CD-CE}{CE}$，
∴$\frac{3}{CD}$=$\frac{CD-2}{2}$，
解得：CD=3．

点评 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．