Question

3．如图，在△ABC中，AE和BD是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，BD与FE，AE分别交于点G、H，∠CAE=∠ABD．有下列结论：①FD=FE；②BH=2CD；③BD•BH=2BE²；④S_△ABC=$\frac{4}{3}$S_{四边形BCDF}．其中正确的有（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①②③
• D． ①②④

Answer 1

分析 根据余角的性质得到∠CAE=∠CBD，等量代换得到∠ABD=∠CBD，根据等腰三角形的判定得到AB=BC，根据等腰三角形的性质得到AD=CD，根据三角形的中位线的性质和直角三角形的性质得到DF=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$AB，求得DF=EF，故①正确；根据全等三角形的性质得到BH=AC，等量代换得到CD=$\frac{1}{2}$BH，故②正确；根据相似三角形的性质得到BH•BD=BC•BE，由BC≠2BE，得到BD•BH≠2BE²；故③错误；根据相似三角形的性质得到S_△ABC=$\frac{4}{3}$S_{四边形BCDF}．故④正确．

解答 解：∵AE⊥BC，BD⊥AC，
∴∠CAE+∠C=∠CBD+∠C=90°，
∴∠CAE=∠CBD，
∵∠CAE=∠ABD，
∴∠ABD=∠CBD，
∴AB=BC，
∴AD=CD，
∵点F是AB的中点，
∴AF=BF，
∴DF=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴DF=EF，故①正确；
∵∠ABC=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，
在△AEC与△BEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠HBE}\\{∠AEC=∠BEH}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BEH，
∴BH=AC，
∵CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴CD=$\frac{1}{2}$BH，故②正确；
∵∠BEH=∠BDC=90°，∠EBH=∠DBC，
∴△BEH∽△BDC，
∴$\frac{BC}{BH}=\frac{BD}{BE}$，
∴BH•BD=BC•BE，
∵BC≠2BE，
∴BD•BH≠2BE²；故③错误；
∵AF=BF，AD=CD，
∴DF∥BC，DF=$\frac{1}{2}$BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{4}{3}$S_{四边形BCDF}．故④正确．
故选D．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．