Question

如图，四边形ABCD为正方形，∠APC=90°，若AB=10，PD=6

5

，则∠PAD的正切值为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形,正方形的性质

专题：计算题

分析：如图，延长PA至E，使得AE=PC，作DH⊥EP，利用SAS证明△EAD≌△PCD，根据全等三角形对应边相等，对应角相等得到DE=DP，∠EDA=∠PDC，利用等式的性质及正方形的性质得到∠EDP为直角，确定出△EDP为等腰直角三角形，进而得到三角形HDP为等腰直角三角形，根据DP的长求出DH的长，在直角三角形ADH中，利用勾股定理求出AH的长，利用锐角三角函数定义求出tan∠PAD的值即可．

解答：解：如图，延长PA至E，使得AE=PC，作DH⊥EP，
∵∠APC=∠ADC=90°，
∴A，P，C，D四点共圆，
∴∠DAP+∠DCP=180°，
∵∠DAP+∠DAE=180°，
∴∠DCP=∠DAE，
在△EAD和△PCD中，

AE=CP ∠EAD=∠PCD AD=CD

，
∴△EAD≌△PCD（SAS），
∴DE=DP，∠EDA=∠PDC，
∵∠ADP+∠PDC=90°，
∴∠EDA+∠ADP=90°，即∠EDP=90°，
∴△EDP为等腰直角三角形，
∴∠DPH=45°，即△DHP为等腰直角三角形，
∴DH=

2

2

DP=3

10

，
在Rt△ADH中，AD=10，DH=3

10

，
根据勾股定理得：AH=

102-(3 10 )2

=

10

，
∴tan∠PAD=

DH

AH

=

3 10

10

=3．
故答案为：3．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．