Question

2．如图，直线y=-x+1与两坐标轴分别交于A、B两点，E、F为线段AB上的两个动
点，∠EOF=45°．
（Ⅰ）求证：△AOF∽△BEO；
（Ⅱ）试探究：点E的横坐标与点F的纵坐标之积是否为常数？如果是，求出这个常数；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△AOB是等腰直角三角形，则根据三角形的外角的性质即可证明∠BOE=∠AFO，即可证明两三角形相似；
（Ⅱ）过E作EE'⊥y轴于E'，过F作FF'⊥x轴于F'，证明△AFF'和△BEE'都是等腰直角三角形，据此即可求解．

解答 （Ⅰ）证明：由已知A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=45°，
又∵∠BOF+∠EOF=∠BOE=∠BOF+45°，
∠ABO+∠BOF=∠AFO=∠BOF+45°
∴∠BOE=∠AFO，
∴△AOF∽△BEO；

（Ⅱ）解：过E作EE'⊥y轴于E'，过F作FF'⊥x轴于F'
由（1）中得：△AOF∽△BEO，
∴$\frac{AO}{BE}=\frac{AF}{BO}$
即BE•AF=AO•BO=1，
设E（a，1-a），F（1-b，b），
在等腰直角△AFF'和直角△BEE'中，
由勾股定理得AF=$\sqrt{2}$b，BE=$\sqrt{2}$a，
∴BE•AF=$\sqrt{2}$b•$\sqrt{2}$a=2ab=1，
∴ab=$\frac{1}{2}$，
∴点E的横坐标与点F的纵坐标之积是常数，该常数为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角新的性质，证明∠BOE=∠AFO和△AFF'和△BEE'都是等腰直角三角形是关键．