Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2．下列结论：①abc＜0；②-a＜b＜-2a；③b²+8a＞4ac；④a＜-1．其中正确的结论有

 

个．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：由题意知，a+b+c=2，（1）
a-b+c＜0，（2）
4a+2b+c＜0，（3）
0＜-

b

2a

＜1，（4）

4ac-b2

4a

＞2，（5）
∵a＜0，b＞0，1＜c＜2，
∴abc＜0．故①正确；
由（4）得到：b＜-2a
由（1）得到：a+b=2-c，则b＞-a，所以-a＜b＜-2a，故②正确；
由（5）得到③正确；
把（1）代入（3）得到：4a+b+2-a＜0，
则a＜

-b-2

3

．
由（1）代入（2）得到：b＞1．
则a＜-1．故④正确．
综上所述，正确的结论是①②③④．
故答案是：①②③④．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．