Question

2．如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AC=3，BC=4，以点B为中心将△ABC顺时针旋转，使点落在CB延长线上的点A₁处，此时，点C落在点C₁的位置，联结AA₁、CC₁交于点O，CC₁与AB交于点D，AA₁与BC₁交于点E，求四边形BDOE的面积．

Answer 1

分析 过点C₁作C₁F⊥BA₁于点F，由旋转的性质得到∠ABC=∠A₁BC₁，AB=A₁B，BC=BC₁，求得∠ABA₁=∠CBC₁，推出B，C，A，O四点共圆，连接BO，根据圆周角定理得到∠AOB=∠ACB=90°，AO=A₁O，同理B，O，C₁A₁四点共圆，根据勾股定理得到AA₁=$\sqrt{A{C}^{2}+C{{A}_{1}}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，∴AO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$，推出△CDB∽△A₁BE，同理△A₁BE∽△ADO，设S_△CDB=x，S_{四边形BDOE}=y，则S${\;}_{△{A}_{1}EB}$$\frac{25}{16}$x，S_△ADO=$\frac{45}{32}$x，于是得到S${\;}_{△AC{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×3×（4+5）=$\frac{27}{2}$，由CO平分△ACA₁的面积，得到S${\;}_{△CO{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△AC{A}_{1}}$=$\frac{27}{4}$，S${\;}_{△AB{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$，解方程组即可得到结论．

解答 解：由旋转的性质得：∠ABC=∠A₁BC₁，AB=A₁B，BC=BC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
∴△ABA₁∽△CBC₁，
∴∠OAB=∠OCB，
∴B，C，A，O四点共圆，
连接BO，
∴∠AOB=∠ACB=90°，AO=A₁O，同理B，O，C₁A₁四点共圆，
∵∠ACB=90°，
∴AA₁=$\sqrt{A{C}^{2}+C{{A}_{1}}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∴AO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$，
∵∠ABC=∠A₁BC₁，∠DCB=∠DC₁B=∠CA₁E，
∴△CDB∽△A₁BE，同理△A₁BE∽△ADO，
设S_△CDB=x，S_{四边形BDOE}=y，
则S${\;}_{△{A}_{1}EB}$$\frac{25}{16}$x，S_△ADO=$\frac{45}{32}$x，
∴S${\;}_{△AC{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×3×（4+5）=$\frac{27}{2}$，
∵CO平分△ACA₁的面积，
∴S${\;}_{△CO{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△AC{A}_{1}}$=$\frac{27}{4}$，S${\;}_{△AB{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$，
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{（1+\frac{25}{16}）x+y=\frac{27}{4}}\\{（\frac{25}{16}+\frac{45}{32}）x+y=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{13}}\\{y=\frac{105}{52}}\end{array}\right.$，
∴四边形BDOE的面积=$\frac{105}{52}$．

点评 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，四点共圆，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．