Question

如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．

   （1）（3分）求证：AE为⊙O的切线． 

   （2）（3分）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．

   （3）（3分）在（2）的条件下，求线段BG的长．

Answer 1

（1）证明：连接OM.

        ∵AC=AB,AE平分∠BAC

        ∴AE⊥BC,CE=BE=BC=4

        ∵OB=OM  ∴∠OBM=∠OMB

        ∵BM平分∠ABC    ∴∠OBM=∠CBM

        ∴∠OMB=∠CBM   ∴OM∥DC

         又 ∵ AE⊥BC     ∴AE⊥OM

        ∴AE是⊙O的切线           

′

    （2） 设⊙O的半径为R

          ∵OM∥BE ∴ΔOMA∽ΔBEA

          ∴=    即=

          解得   R=3

         ∴⊙O的半径为3            

（3）过点O作OH⊥BG于点H,则BG=2BH

         ∵ ∠OME=∠MEH= ∠ EHO= 90°

        ∴四边形OMEH是矩形

        ∴HE=OM=3

        ∴BH=1∴BG＝2BH＝2