Question

如图，△ABC是等边三角形，AN=BM，BN，MC相交于O，CH⊥BN于点H，求证：2OH=OC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：由三角形ABC为等边三角形得到AB=BC=AC，且三内角为60°，再由AN=BM，利用SAS得到△BAN≌△CBM，利用外角性质及全等三角形的对应角相等得到∠NOC=60°，在直角三角形OCH中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得证．

解答：证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
在△BAN和△CBM中，

AN=BM ∠A=∠ABC AB=BC

，
∴△BAN≌△CBM（SAS），
∴∠ABN=∠BCM，
∵∠ABN+∠OBC=60°，
∴∠BCM+∠OBC=60°，
∵∠NOC为△OBC的外角，
∴∠NOC=∠BCM+∠OBC=60°，
在Rt△OHC，∠HCO=30°，
则2OH=OC．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．