Question

6．如图，AC，BD交于点E，AC⊥BD，BE=EC，∠B=∠C，过E作EG⊥DC，垂足为G，交AB于F点．
求证：（1）△ABE≌△DCE；
（2）F为AB的中点．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据余角的性质得到∠D=∠GEC，根据全等三角形的性质得到∠D=∠A，等量代换得到∠A=∠AEF，求得AF=EF，根据等腰三角形的性质得到EF=BF，于是得到结论．

解答 证明：（1）在△ABE与△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEC=∠AEB=90°}\\{∠C=∠B}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE；
（2）∵EG⊥DC，AC⊥BD，
∴∠DGE=∠DEC=90°，
∴∠D+∠DEG=∠DEG+∠GEC=90°，
∴∠D=∠GEC，
∵△ABE≌△DCE，
∴∠D=∠A，
∵∠AEF=∠GEC，
∴∠A=∠AEF，
∴AF=EF，
∵∠A+B=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠B=∠BEF，
∴EF=BF，
∴AF=BF，
∴F为AB的中点．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．