Question

8．如图，AB为半圆O的直径，C、D是$\widehat{AB}$上的三等分点，若⊙O的半径为2，E是直径AB上任意一点，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 连OC、OD、CD，根据弧相等则弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠COD=∠BOD=$\frac{1}{3}$×180°=60°，则△OCD为等边三角形，即有∠OCD=60°，所以CD∥AB，于是得到S_△ECD=S_△OCD，可把求阴影部分的面积的问题转化为求扇形OCD的面积，然后根据扇形的面积公式计算即可．

解答 解：连OC、OD、CD，如图，
∵AB为半圆的直径，C、D为弧$\widehat{AB}$的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
而OC=OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∴CD∥AB，
∴S_△ECD=S_△OCD，
∴阴影部分的面积=S_扇形OCD=$\frac{60•π{R}^{2}}{360}$=$\frac{1}{6}$π2²⁼$\frac{2}{3}π$．

点评 本题考查了扇形的面积公式：S=$\frac{n•π{R}^{2}}{360}$（n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了弧与圆心角之间的关系以及等边三角形的性质．