Question

12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C（-2，0），点A的坐标为（n，6）．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）若点E为x轴上使△ACE为直角三角形的一点，求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求得一次函数表达式，进而求得A（ 1，6），代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）利用待定系数法即可求得．
（2）联立方程，解方程组即可求得B的坐标，根据交点坐标即可求得一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）∵C（-2，0）在直线 y=2x+b 上，解得b=4，
∴一次函数表达式为 y=2x+4，
∵A（ n，6）在直线 y=2x+4 上，解得n=1
∴A（ 1，6）
又∵点A（ 1，6）在反比例函数图象上，解得k=6
∴反比例函数表达式为 y=$\frac{6}{x}$；
（ 2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{2}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$
∴A（ 1，6）B（-3，-2）．
由图象知，一次函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围为-3＜x＜0或x＞1；
（ 3）∵∠ACE为锐角，
∴分两种情况讨论：
①∠AEC=90°时，E₁ （ 1，0）
②∠EAC=90°时，△ACE₁∽△AE₁E₂
∴AE₁²=CE₁•E₁E₂
∴6²=3E₁E₂
∴E₁E₂=12
∴E₂ （ 13，0）
综上所述E₁ （ 1，0）E₂ （ 13，0）．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，解方程组等，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．