题目内容
7．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（5，5）为第一象限内一点，点B在x轴正半轴上，且∠AOB=45°，OA=OB．（1）求点B的坐标；
（2）动点P以每秒2个单位长度的速度，从点O出发，沿x轴正半轴匀速运动，设点P的运动时间为t秒，△ABP的面积为S，请用含有t的式子表示S（S≠0），并直接写出t的取值范围；
（3）如图2，在（2）的条件下，点D坐标为（2，0），连接AD，AK⊥AD，过点B作x轴的垂线交AK于点K，过点A作x轴的平行线a，在点P的运动过程中，直线a上是否存在一点R，使△PKR是以PR为腰的等腰直角三角形？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）作AM⊥OB于M，左侧△OAB是等腰直角三角形，得出∠OAB=90°，∠ABO=45°，BM=OM=5，求出OB=10，即可得出点B的坐标；
（2）分两种情况同理：当0＜t≤5时，OP=2t，则PB=10-2t；当t＞5时，OP=2t，则PB=2t-10；由三角形面积公式即可得出结果；
（3）由ASA证明△OAD≌△BAK，得出OD=BK=2，分两种情况：当∠PRK=90°时，点R与A重合，得出R（5，5）；当∠RPK=90°时，①当P在B的左侧时，作RE⊥OB于E，证得△EPR≌△BKP，得出EP=BK=2，RE=PB=5，求出OE=3即可；②当P在B的右侧时，同理得出点R的坐标为（17，5），即可得出结论．
解答 
解：（1）作AM⊥OB于M，如图1所示：
∵∠AOB=45°，OA=BA，点A（5，5），
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=90°，
∴∠ABO=45°，BM=OM=5，
∴OB=10，
∴点B的坐标为（10，0）；
（2）当0＜t≤5时，如图2所示：
OP=2t，则PB=10-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$（10-2t）×5=25-5t；
当t＞5时，如图3所示：
OP=2t，则PB=2t-10，
∴S=$\frac{1}{2}$（2t-10）×5=5t-25；
综上所述：S=25-5t（0＜t≤5）或S=5t-25（t＞5）；
（3）存在，∵AK⊥AD，∴∠DAK=90°=∠OAB，
∴∠OAD=∠BAK，
∵BK⊥OB，
∴∠ABK=90°-45°=45°，
在△OAD和△BAK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠BAK}&{\;}\\{OA=BA}&{\;}\\{∠AOD=∠ABK=45°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△BAK（ASA），
∴OD=BK=2，
当∠PRK=90°时，点R与A重合，
∴R（5，5）；
当∠RPK=90°时，
①当P在B的左侧时，如图4所示：
作RE⊥OB于E，同理证得△EPR≌△BKP，
∴EP=BK=2，RE=PB=5，
∴OE=10-5-2=3，
∴R（3，5）；
②当P在B的右侧时，如图5所示：
同理得出点R的坐标为（17，5）；
综上所述：直线a上存在点R，使△PKR是以PR为腰的等腰直角三角形，点R坐标为（5，5）或（3，5）或（17，5）．
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点评 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键，注意分类讨论．
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