Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．

（1）求证：OD∥BC；

（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）利用SSS可证明△OAD≌△OCD，可得∠ADO＝∠CDO，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得DE⊥AC，由AB是直径可得∠ACB=90°，即可证明OD//BC；

（2）设BC＝a，则AC=2a，利用勾股定理可得AD=AB=，根据中位线的性质可用a表示出OE、AE的长，即可表示出OD的长，根据勾股定理逆定理可得∠OAD=90°，即可证明DA与⊙O相切．

（1）连接OC，

在△OAD和△OCD中，，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠ADO＝∠CDO，

∵AD＝CD，

∴DE⊥AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

即BC⊥AC，

∴OD∥BC；

（2）设BC＝a，

∵AC＝2BC，

∴AC＝2a，

∴AD＝AB＝＝＝a，

∵OE∥BC，且AO＝BO，

∴OE为△ABC的中位线，

∴OE＝BC＝a，AE＝CE＝AC＝a，

在△AED中，DE＝＝＝2a，

∴OD=OE+DE=，

在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2＝a2，OD2＝（）2＝a2，

∴AO2+AD2＝OD2，

∴∠OAD＝90°，

∵AB是直径，

∴DA与⊙O相切．