Question

【题目】如图，AB，DE为⊙O的直径，过点D作弦DC⊥AB于点H，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：

（2）若sinD＝，求tanF．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，先证∠DOH＝∠COH，再证∠COH＝∠AOE，由圆心角、弧、弦的关系可推出结论；

（2）连接EC，用特殊值法，设OH＝3，OD＝5，求出CD的长，利用勾股定理求出CE的长，再证△EFC∽△AFH，可求出FC的长，即可求出tanF．

(1)连接OC

∵OC=OD，AB⊥CD

∴∠DOH=∠COH，

∵∠DOH=∠AOE，

∴∠COH=∠AOE，

∴；

(2)连接EC，

∵AB⊥CD，

∴∠AHD=90°，

∵sin D=，

不妨设OH=3，OD=5，

∴DH=，

∵AB⊥CD，

∴CD=2DH=8，

∵DE为⊙O的直径，

∴∠ECD=90°，

∴CE=，

设FC=，则FH=，

∵∠AHD=∠ECD=90°，

∴EC∥AH

∴△EFC∽△AFH，

∴，

即，

解得：，

∴．