Question

2．（1）如图1，直线l经过正方形ABCD的顶点C，分别过点D、B作l的垂线段DE、BF．求证：△DCE≌△CBF
（2）将上述的图形作为一个“基本图形”，你能否在下列的问题中构建这样的“基本图形”解决问题：
如图2，正方形ABCD与正方形AEFG有共同的顶点A，连接DE、BG，过点A作直线AH⊥DE，交BG于点I，求证：I是BG的中点．
（3）通过（2）的证明：我们可以发现上图中S_△ADE=S_△ABG（填“＞”、“＜”、或“=”）．并利用你的发现解决下列问题：如图3，以△ABC的各边为一边向外作正方形，各正方形的面积如图中所示，分别为9、16、25，请直接写出六边形DEFGHI的面积：74．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定证明即可；
（2）由（1）可知：△DAH≌△ABM，△EAH≌△AGN，从而可知：BM=AH=GN，然后再证明△BIM≌△GIN，从而可得到BI=BI；
（3）由全等三角形的性质可知S_△ADE=S_△ABG，然后用上述结论可知△BEF、△GCH，△ADI的面积都等于△ACB的面积，从而可求得答案．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCB=90°，
∴∠DCE+∠BCF=90°，
∵DE⊥CE，BF⊥CF，
∴∠DCE+∠EDC=90°，
∴∠BCF=∠EDC，
同理∠DCE=∠CBF，
在△DCE与△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠CBF}\\{∠BCF=∠EDC}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△CBF（AAS）；
（2）过点B作BM⊥AI于点M，过点G作GN⊥AI交延长线于点N，

由（1）可知：△DAH≌△ABM、△AHE≌△GNA，
∴BM=AH，GN=AH．
∴BM=GN．
在△BMI和△GNI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMA=∠GNA}\\{∠BMI=∠GNI}\\{BM=NG}\end{array}\right.$，
∴△BMI≌△GNI．
∴BI=GI．
（3）∵△DAH≌△ABM、△AHE≌△GNA，
∴S_△ADE=S_△ABM+S_△ANG．
∵△BMI≌△GNI，
∴S_△BMI=S_△GNI．
∴S_△ADE=S_△ABG．
∴${S}_{△BEF}={S}_{△CGH}={S}_{△ADI}={S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×4=6$．
∴六边形的面积=25+16+9+4×6=74．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，发现问题的结论，并利用问题的结论进行证明是解题的关键．