Question

如图，矩形AOBC的顶点坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），动点F在边BC上（不与B、C重合），过点F的反比例函数y=

k

x

的图象与边AC交于点E，直线EF分别与y轴和x轴相交于点D和G．给出下列命题：
①若k=4，则△OEF的面积为

8

3

；
②若k=

21

8

，则点C关于直线EF的对称点在x轴上；
③满足题设的k的取值范围是0＜k≤12；
④若DE•EG=

25

12

，则k=1．
其中正确的命题的序号是

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,勾股定理

专题：压轴题,数形结合,待定系数法

分析：（1）若k=4，则计算S_△OEF=

16

3

≠

8

3

，故命题①错误；
（2）如答图所示，若k=

21

8

，可证明直线EF是线段CN的垂直平分线，故命题②正确；
（3）因为点F不经过点C（4，3），所以k≠12，故命题③错误；
（4）求出直线EF的解析式，得到点D、G的坐标，然后求出线段DE、EG的长度；利用算式DE•EG=

25

12

，求出k=1，故命题④正确．

解答：解：命题①错误．理由如下：
∵k=4，
∴E（

4

3

，3），F（4，1），
∴CE=4-

4

3

=

8

3

，CF=3-1=2．
∴S_△OEF=S_矩形AOBC-S_△AOE-S_△BOF-S_△CEF
=S_矩形AOBC-

1

2

OA•AE-

1

2

OB•BF-

1

2

CE•CF
=4×3-

1

2

×3×

4

3

-

1

2

×4×1-

1

2

×

8

3

×2=12-2-2-

8

3

=

16

3

，
∴S_△OEF≠

8

3

，故命题①错误；
命题②正确．理由如下：
∵k=

21

8

，
∴E（

7

8

，3），F（4，

21

32

），
∴CE=4-

7

8

=

25

8

，CF=3-

21

32

=

75

32

．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则EM=3，OM=

7

8

；
在线段BM上取一点N，使得EN=CE=

25

8

，连接NF．

在Rt△EMN中，由勾股定理得：MN=

EN2-EM2

=

( 25 8 )2-32

=

7

8

，
∴BN=OB-OM-MN=4-

7

8

-

7

8

=

9

4

．
在Rt△BFN中，由勾股定理得：NF=

BN2+BF2

=

( 9 4 )2+( 21 32 )2

=

75

32

．
∴NF=CF，
又∵EN=CE，
∴直线EF为线段CN的垂直平分线，即点N与点C关于直线EF对称，
故命题②正确；
命题③错误．理由如下：
由题意，点F与点C（4，3）不重合，所以k≠4×3=12，故命题③错误；
命题④正确．理由如下：
为简化计算，不妨设k=12m，则E（4m，3），F（4，3m）．
设直线EF的解析式为y=ax+b，则有

4ma+b=3 4a+b=3m

，解得

a=- 3 4 b=3m+3

，
∴y=-

3

4

x+3m+3．
令x=0，得y=3m+3，∴D（0，3m+3）；
令y=0，得x=4m+4，∴G（4m+4，0）．
如答图，过点E作EM⊥x轴于点M，则OM=AE=4m，EM=3．
在Rt△ADE中，AD=OD-OA=3m，AE=4m，由勾股定理得：DE=5m；
在Rt△MEG中，MG=OG-OM=（4m+4）-4m=4，EM=3，由勾股定理得：EG=5．
∴DE•EG=5m×5=25m=

25

12

，解得m=

1

12

，
∴k=12m=1，故命题④正确．
综上所述，正确的命题是：②④，
故答案为：②④．

点评：本题综合考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，有一定的难度．本题计算量较大，解题过程中注意认真计算．