Question

如图，在平面直角坐标系中，梯形OABC各顶点的坐标分别为O（0，0），A（2，3），B（4，3），C（6，0）．点M的坐标为（0，-1），D是线段OC上的一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形的一边交于点N．设点D的横坐标为t．
（1）当t=1时，△DNC的面积是

 

．
（2）若以M，N，C为顶点的三角形是钝角三角形，则t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）求出DM的解析式，再根据点B的坐标判断出t=1时，直线DM经过点B，然后求出CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）①直角顶点N在BC上时，根据等角的余角相等求出∠OMD=∠NCD，再表示出CD=6-t，然后根据点B、C的坐标利用∠OMD和∠NCD的正切值列式计算求出t值；②直角顶点N在OA上，表示出MN、OA的解析式，联立两函数解析式求出点N的坐标，然后根据点B、C的坐标利用∠OMD和∠NCD的正切值列式计算求出t值，再结合图形写出△MNC是钝角三角形时的t的取值范围即可．

解答：解：（1）t=1时，点D（1，0），
∵M（0，-1），
∴直线MD的解析式为y=x-1，
当x=4时，y=4-1=3，
∴t=1时，直线DM经过点B，
∴△DNC的面积=

1

2

×（6-1）×3=

15

2

；

（2）如图，①直角顶点N在BC上时，
∵∠OMD+∠ODM=∠NCD+∠CDN=90°，
∠ODM=∠CDN（对顶角相等），
∴∠OMD=∠NCD，
∵点B（4，3），C（6，0），
∴tan∠NCD=

3

6-4

=

3

2

，
∴tan∠OMD=

OD

OM

=

t

1

=

3

2

，
∴t=

3

2

，
此时，

3

2

＜t＜6时，以M，N，C为顶点的三角形是钝角三角形；
②直角顶点N在OA上时，
设直线MD的解析式为y=mx+n（m≠0），
则

n=-1 tm+n=0

，
解得

m= 1 t n=-1

，
∴直线DM的解析式y=

1

t

x-1，
易求直线OA的解析式为y=

3

2

x，
联立

y= 3 2 x y= 1 t x-1

，
解得

x= 2t 2-3t y= 3t 2-3t

，
同①，tan∠NCD=

3t 2-3t

6- 2t 2-3t

，
∴tan∠OMD=

OD

OM

=

t

1

=

3t 2-3t

6- 2t 2-3t

，
整理得，20t²-9t=0，
解得，t₁=0，t₂=

9

20

，
此时，0＜t＜

9

20

时，以M，N，C为顶点的三角形是钝角三角形，
综上所述，0＜t＜

9

20

，

3

2

＜t＜6时，以M，N，C为顶点的三角形是钝角三角形．
故答案为：（1）

15

2

；（2）0＜t＜

9

20

，

3

2

＜t＜6．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，难点在于（1）判断出直线DM经过点B，（2）分两种情况求出∠MNC=90°时的t的值，利用锐角三角函数列方程求解更加简便，作出图形更形象直观．