Question

已知：⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，FG⊥DE，垂足为G．求证：DG•CF=EG•BF．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：连接OF，OB，OC，OC，连接DF，EF，证明△DGF∽△OFC，△EGF∽△OFB，即可证明DG•CF=EG•BF．

解答：证明：连接OF，OB，OC，OC，连接DF，EF，
∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴CE=CF，BD=BF，
∴∠FDE=∠COF，而∠DGF=∠OFC=90°，
∴△DGF∽△OFC，同理△EGF∽△OFB，
∴

DG

OF

=

GF

CF

，

GE

OF

=

GF

BF

，
∴OF•GF=GD•CF=GD•CE，
OF•GF=GE•BF=GE•BD，
∴GD•CE=GE•BD，
即DG•CF=EG•BF．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形内切圆与内心，难度适中，关键是巧妙作出辅助线．