Question

如图，二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交于点A（-1，0）、B（x₁，0），顶点在第一象限．下列结论：①ab＜0；②0＜b＜2；③x₁＞2；④关于x的方程ax²+bx+1=0有两个不相等实数根；⑤将该抛物线沿某一方向平移后所得抛物线y=ax²+bx与x轴交于点C、D，则AB-CD=2．其中正确结论的个数为（　　）

• A、2个
• B、3个
• C、4个
• D、5个

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与系数的关系

专题：

分析：采用形数结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断a、b、c的符号，把两根关系与抛物线与x轴的交点情况结合起来分析问题．

解答： 解：如图，对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即ab＜0．故①正确；
∵图象过A点，
∴a-b+2=0，解得a=b-2，且a＜0，b＞0，
∴b-2＜0，可得0＜b＜2，
故②正确；
由根与系数的关系可得-1×x₁=

2

a

=

2

b-2

，
∴x₁=

2

2-b

，
∵0＜b＜2，
∴

2

2-b

＞1，故③不正确；
令y=ax²+bx+1，则其图象相当于y=ax²+bx+2的图象向下平移一个单位，且最大值大于2，
∴y=ax²+bx+1的图象与x轴有两个交点，
∴方程ax²+bx+1=0有两个不相等的实数根，故④正确；
由题可知AB=x₁+1=

2

2-b

+1=

4-b

2-b

，
在y=ax²+bx中，令y=0可得ax²+bx=0，可解得x=0或x=-

b

a

=

b

2-b

，
∴CD=

b

2-b

，
∴AB-CD=

4-b

2-b

-

b

2-b

=2，故⑤正确；
综上可知正确的为①②④⑤共4个，
故选C．

点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，根的判别式的熟练运用．