Question

15．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交于x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2016个正方形A₂₀₁₅B₂₀₁₅C₂₀₁₅C₂₀₁₄的面积为5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 根据点A、D的坐标求出OA、OD的长，然后利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD和△A₁BA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出A₁B，从而求出第二个正方形的边长A₁C=A₁B₁，同理求出第三个正方形的边长A₂C₁=A₂B₂，根据规律求出第2015个正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：∵点A（1，0），点D（0，2），
∴OA=1，OD=2，
∴AD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠ADO+∠DAO=180°-90°=90°，
∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
又∵∠AOD=∠ABA₁=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴$\frac{OD}{AB}$=$\frac{OA}{{A}_{1}B}$，
∴A₁B=$\frac{OA•AB}{OD}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴第二个正方形的边长：A₁C=A₁B₁=$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
同理A₂B₁=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∴第三个正方形的边长：A₂C₁=A₂B₂=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$+$\frac{3\sqrt{5}}{4}$=$\frac{9\sqrt{5}}{4}$=（$\frac{3}{2}$）²×$\sqrt{5}$，
第四个正方形的边长：$\frac{9\sqrt{5}}{4}$+$\frac{9\sqrt{5}}{8}$=$\frac{27\sqrt{5}}{8}$=（$\frac{3}{2}$）³×$\sqrt{5}$…，
第2015个正方形的边长：（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵×$\sqrt{5}$，
∴第2015个正方形的面积为[（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁵×$\sqrt{5}$]²=5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁵．
故答案为：5×（$\frac{9}{4}$）²⁰¹⁵．

点评 此题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．