Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积．

Answer 1

考点：梯形

专题：

分析：延长BA与CD，两延长线交于点F，由CH垂直于BF，得到一对直角相等，由CH为角平分线得到一对角相等，再由CH为公共边，利用ASA可得出三角形CFH与三角形CBH全等，由全等三角形的对应边相等得到CF=CB，且BH=HF，由BH=3AH，得到HF=2AH，即A为HF的三等分点，由等腰三角形的两底角相等得到一对角相等，再由两直线平行得到一对同位角相等，等量代换并利用等角对等边得到三角形AFD为等腰三角形，且三角形AFD与三角形BFC相似，相似比为1：6，可得出面积之比为1：36，设三角形AFD的面积为x，则三角形BFC的面积为36x，可得出三角形EFC的面积为18x，再由四边形AHCD的面积为7，由四边形AHCD的面积+三角形AFD的面积等于三角形HFC的面积列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，18x即为所求．

解答：解：延长BA，延长CD，两延长线交于点F，如图所示：
∵CH⊥BF，
∴∠CHF=∠CHB=90°，
∵CH为∠BCD的平分线，
∴∠FCH=∠BCH，
在△FCH和△BCH中，

∠FCH=∠BCH CH=CH ∠CHF=∠CHB

，
∴△FCH≌△BCH（ASA），
∴CF=CB，BH=FH，
∴∠F=∠B，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
∴∠F=∠FAD，
∴△AFD为等腰三角形，
又∵BE=3AH，
∴EF=3AH，即A为HF的三等分点，
∴△AFD∽△BFC，且相似比为1：6，
∴S_△AFD：S_△BFC=1：36，
设S_△AFD=x，则S_△BFC=36x，即S_△HFC=18x，
由四边形AHCD的面积为21，得到S_△HFC=x+21，
∴18x=x+21，
解得：x=

21

17

，
∴S_△HBC=18x=

378

17

．

点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．