如图.抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C(0.2).抛物线的对称轴交x轴于点D．(1)求抛物线的解析式,(2)求sin∠ABC的值,(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P.使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在.直接写出点P的坐标,如果不存在.请说明理由,(4)点E是线段BC上的一个动点.过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴交x轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求sin∠ABC的值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时线段EF最长？求出此时E点的坐标．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦函数的定义，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得P点坐标；
（4）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c过点A（-1，0），C（0，2），
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$　　　　　
$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，

（2）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0解得x=-1（舍），x=4，
点B的坐标为（4，0），C（0，2），
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴sin∠ABC=sin∠OBC=$\frac{OC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（3）存在．
∵对称轴是x=$\frac{3}{2}$，
∴点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
∴CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．
PD=CD=$\frac{5}{2}$，得P（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
PC=CD=$\frac{5}{2}$，即P点与D点关于底边的高对称，得
D点的纵坐标为4，即P（$\frac{3}{2}$，4），
综上所述：点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$），（$\frac{3}{2}$，4）；

（4）设直线BC的解析式为y=mx+n
∵B、C两点坐标分别为（4，0）、（0，2），
$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
设E点坐标为（x，-$\frac{1}{2}$x+2），则F点坐标为（x，--$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），
EF=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）
=-$\frac{1}{2}$x²+2x
=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
当x=2时，EF最长，
∴当点E坐标为（2，1）时，线段EF最长．