Question

将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．
（1）直接写出AD=_____，AC=_______，BC=_______，四边形ABCD的面积=______；
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．

Answer 1

（1），，，；（2）75°；（3），

试题分析：（1）根据特殊的直角三角形的性质及直角三角形的面积公式求解即可；
（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝，即可得到＝，则∠PDF＝30°，即可求得∠PDA的度数，当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°，即可求得结果；
（3）在□DPBQ中，BC∥DP，由∠ACB＝90°可得DP⊥AC．根据（1）中结论可知，DP＝CP＝，再根据平行四边形的面积公式求解即可.
（1）AD=，AC=，BC=，四边形ABCD的面积=；

（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝，
∴＝，
∴∠PDF＝30°．
∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°
当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．
∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°；

（3）CP＝．
在□DPBQ中，BC∥DP，
∵∠ACB＝90°，
∴DP⊥AC．
根据（1）中结论可知，DP＝CP＝，
∴S_□DPBQ＝＝．
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.