Question

（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.

Answer 1

（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形

解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90⁰。
∵∠BAC＝90⁰，∴∠BAD+∠CAE=90⁰。
∵∠BAD+∠ABD=90⁰，∴∠CAE=∠ABD。
又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）。∴AE=BD，AD=CE。
∴DE="AE+AD=" BD+CE。
（2）成立。证明如下：
∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180⁰—。∴∠DBA=∠CAE。
∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）。∴AE=BD，AD=CE。
∴DE=AE+AD=BD+CE。
（3）△DEF为等边三角形。理由如下：
由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60⁰。
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF。∴∠DBF=∠FAE。
∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）。∴DF=EF，∠BFD=∠AFE。
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60⁰。
∴△DEF为等边三角形。
（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE。
（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD。
（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60⁰，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60⁰得到△DEF是等边三角形。