Question

4．如图，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，AE⊥BD，交BD延长线于E，
（1）∠BAE=∠ADE；
（2）请写出AE与BD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由BD平分∠ABC得到∠1=∠3，由于∠BDC=∠ADE，根据三角形内角和定理得到∠1=∠2，所以∠1=∠3，然后根据等角的余角相等即可得到∠ADE=∠BAE；
（2）延长AE交BC的延长线于F，如图，先证明△CBD≌△CAF，得到BD=AF，再利用等腰三角形的性质得到AE=EF，于是得到BD=2AE．

解答 （1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠3，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
而∠BDC=∠ADE，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴∠ADE=∠BAE；
（2）解：BD=2AE．理由如下：
延长AE交BC的延长线于F，如图，
在△CBD和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{CB=CA}\\{∠BCD=∠ACF}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△CAF （ASA）
∴BD=AF，
∵BD平分∠ABC，BE⊥AF，
∴AE=EF，
∴BD=2AE．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质．