Question

如图，在△ABC中，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E．线段DE的最小值是

 

cm．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,垂线段最短,勾股定理的逆定理

专题：

分析：利用勾股定理逆定理判断出∠A=90°，再根据有三个角是直角的四边形是矩形判断出四边形ADME是矩形，根据矩形的对角线相等可得AM=DE，再根据垂线段最短可得AM⊥BC时，线段DE最小，然后利用△ABC的面积列出方程求解即可．

解答：解：∵AB²+AC²=3²+4²=25=BC²，
∴∠A=90°，
又∵MD⊥AB，ME⊥AC，
∴四边形ADME是矩形，
连接AM，则AM=DE，
由垂线段最短可知，AM⊥BC时，线段DE最小，
此时，S_△ABC=

1

2

×5AM=

1

2

×3×4，
解得AM=2.4，
即DE=2.4cm．
故答案为：2.4．

点评：本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理逆定理，垂线段最短的性质，判断出四边形ADME是矩形并得到AM=DE是解题的关键，难点在于判断出AM⊥BC时，线段DE最小．